Univers enroulé

Les Torus Games permettent aux enfants (de 10 ans et plus) et aux adultes de se familiariser avec les étonnantes propriétés d’un univers qui s’enroule sur lui-même (“multiconnexe”). En jouant à ces jeux, vous développerez une compréhension visuelle et intuitive de cet univers fini et sans bords.

L’idée de base est simple. Prenez une feuille de papier et dessinez-y un poisson tout plat, à deux dimensions.

square piece of paper

Enroulez la feuille sur elle-même de sorte que ses bords gauche et droit coïncident, puis scotchez-les ensemble. En faisant ainsi, vous avez transformé l’univers de votre poisson en un cylindre. Si le poisson se déplace vers la droite, il fera le tour de ce cylindre et reviendra à son point de départ en arrivant par la gauche.

vertical cylinder

Si vous enroulez la feuille de sorte à faire coïncider ses bords supérieur et inférieur, l’univers de votre poisson est toujours un cylindre, horizontal cette fois. Si le poisson se déplace vers le haut, il fera aussi le tour du cylindre et reviendra à son point de départ en arrivant par le bas.

horizontal cylinder

Essayez maintenant de réunir simultanément les bords droit et gauche, d’une parte, et les bords supérieur et inférieur, d’autre part. Normalement vous devriez obtenir une feuille de papier froissée !

Fort heureusement, cette construction, difficile à faire avec une feuille de papier réelle, est bien plus aisée à réalisée avec une feuille virtuelle, grâce à un logiciel adapté. Tous les Torus Games se jouent sur un plateau carré dont les bords opposés sont identifiés. Il est donc inutile de garder votre feuille froissée !

Pour vérifier ce qui se passe, retournez aux Torus Games, allez dans le menu Aide et choisissez Plateau d’entraînement. Après avoir fermé cette page, sélectionnez Plateau d’entraînement. Vous devriez alors voir un poisson. Attrapez-le et déplacez-le vers le haut du plateau – il réapparaîtra immédiatement par le bas ! Si vous le déplacez vers la droite, le poisson reviendra par la gauche. Cet univers curieux qui se referme sur lui-même, droite-sur-gauche et haut-sur-bas, est appelé un tore.

Tous les Torus Games utilisent le même espace que ce poisson. Par exemple, si vous retournez aux Torus Games, allez dans le menu Jeu, fermez cette page, choisissez l’onglet Jeu en bas de l’écran, et sélectionnez Puzzle, vous devrez réalisez un puzzle sur un tore. Attrapez une pièce du puzzle et déplacez-la au-delà du bord supérieur du plateau. Elle réapparaîtra immédiatement par le bas. De la même façon, une pièce déplacée vers la droite réapparaîtra par la gauche. Essayez maintenant d’assembler complètement le puzzle !

Pour obtenir une vue différente de la situation en cours, cliquez directement sur le plateau (et non sur une pièce du jeu) et déplacez-le: effleurez le plateau avec votre pouce pour le déplacer: la partie du plateau qui disparaît d’un côté réapparaît immédiatement du côté opposé. Quand vous jouez, cette interaction visuelle et tactile vous donnera une compréhension intime de la structure d’un univers fini et sans bords.

Une fois que vous aurez joué à tous les jeux proposés vous devriez être plutôt à l’aise sur un plateau de jeu multiconnexe (c’est-à-dire fini et sans bord). Vous voilà prêt à aborder la question de l’univers réel. L’idée est la même, mais au lieu de démarrer avec un plateau à deux dimensions il faut cette fois-ci prendre un bloc d’espace à trois dimensions. Prenez par exemple le volume englobé par la pièce dans laquelle vous vous tenez actuellement. Imaginez que si vous pouviez traverser le mur qui vous fait face, vous entreriez dans la pièce par le mur situé derrière vous. De la même façon, quittez la pièce par le mur à votre droite vous fera revenir dans la pièce par le mur de gauche. Et bien sûr, si vous pouviez voler à travers le plafond vous reviendrez par le sol. Voilà comment vous apparaîtrait un espace “multiconnexe” à trois dimensions ! Dans un tel espace, vous pouvez voler indéfiniment sans jamais rencontrer aucune sorte de barrières (parce que les murs sont devenus inutiles) et pourtant le volume total auquel vous avez accès est fini (et égal à celui de votre pièce).

Certaines observations dues au satellite américain WMAP suggèrent que notre univers pourrait être multiconnexe à la manière dont le plateau des Torus Games l’est. Mais pour l’instant les indices ne sont pas suffisants pour en tirer une conclusion claire.

Deux livres en français exposent à la fois les notions mathématiques et l’état des observations de notre univers:

Tous les deux méritent cinq étoiles.

Le logiciel Curved Spaces software (pour Mac OS et Windows, pas encore disponible pour iPhone OS) vous permet d’explorer directement ces espaces multiconnexes à trois dimensions.

Le livre The Shape of Space (en anglais), destiné aux étudiants plus âgés et aux adultes, entre dans le détail de cette notion.

Traduit en français par Roland Lehoucq (2010)

Vous avez encore une question? Soumettez-la à la page contact de Geometry Games pour avoir une réponse plus ou moins rapide.

© 2010 by Jeff Weeks